7 класс STEM • Урок 15

Предметные результаты:

• Изучить структуру промышленных робототехнических комплексов
• Понять принципы синхронизации производственных процессов
• Освоить математические модели оптимизации производства

Метапредметные результаты:

• Развить системное мышление при анализе сложных технических систем
• Научиться применять математический аппарат для решения инженерных задач

Основные элементы системы:

1. Промышленные роботы-манипуляторы

   • 6-осевые роботы (6 степеней свободы)
   • Грузоподъемность: 5-2000 кг
   • Точность позиционирования: ±0.02 мм

2. Системы транспортировки

   • Конвейерные ленты
   • AGV (автоматически управляемые транспортные средства)
   • Пневматические транспортные системы

Прямая кинематика манипулятора:

Положение рабочего органа в декартовых координатах:

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = f(\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4, \theta_5, \theta_6)$$

где $\theta_i$ - углы поворота в сочленениях

Пример для 2D-случая: $$x = l_1 \cos(\theta_1) + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$$ $$y = l_1 \sin(\theta_1) + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)$$

Момент силы в сочленении: $$M = J \cdot \alpha + F_{нагр} \cdot r$$

где:

• $J$ - момент инерции звена (кг·м²)
• $\alpha$ - угловое ускорение (рад/с²)
• $F_{нагр}$ - сила нагрузки (Н)
• $r$ - плечо силы (м)

Мощность двигателя: $$P = M \cdot \omega = M \cdot \frac{2\pi n}{60}$$

где $n$ - частота вращения (об/мин)

Сферическая система координат:

Для 6-осевого робота рабочая зона описывается:

• Радиус действия: $R_{max} = l_1 + l_2 + l_3$
• Мертвая зона: $R_{min} = |l_1 - l_2 - l_3|$

Объем рабочей зоны: $$V = \frac{4}{3}\pi (R_{max}^3 - R_{min}^3)$$

Задача: Робот с длинами звеньев 0.8м, 0.6м, 0.2м

• $R_{max} = 0.8 + 0.6 + 0.2 = 1.6$ м
• $R_{min} = |0.8 - 0.6 - 0.2| = 0$ м
• $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 1.6^3 = 17.2$ м³

Типы производственных линий:

1. Синхронные линии - все операции выполняются одновременно
2. Асинхронные линии - операции выполняются по готовности
3. Смешанные линии - комбинация синхронных и асинхронных участков

Такт производства: $$T_{такт} = \frac{T_{эф}}{N_{план}}$$

где:

• $T_{эф}$ - эффективное время работы смены (мин)
• $N_{план}$ - плановый выпуск (шт)

Основные формулы:

Производительность отдельной операции: $$Q_i = \frac{60}{t_i} \text{ (шт/час)}$$

Производительность линии (узкое место): $$Q_{линии} = \min(Q_1, Q_2, …, Q_n)$$

Коэффициент загрузки оборудования: $$K_{загр,i} = \frac{t_i}{T_{такт}} \times 100%$$

Пример: Линия сборки смартфонов

Производительность каждой операции:

• $Q_1 = \frac{60}{15} = 4$ шт/мин
• $Q_2 = \frac{60 \times 2}{25} = 4.8$ шт/мин
• $Q_5 = \frac{60 \times 3}{45} = 4$ шт/мин

Производительность линии: $Q = \min(4, 4.8, 6, 4, 4) = 4$ шт/мин = 240 шт/час

Расчет размера буфера:

Для компенсации разброса временных характеристик: $$N_{буф} = \frac{\sigma \cdot \sqrt{2\ln(\frac{1}{P_{дефицита}})}}{T_{такт}}$$

где:

• $\sigma$ - среднеквадратическое отклонение времени операции
• $P_{дефицита}$ - допустимая вероятность простоя

Пример: При $\sigma = 2$ сек, $P_{дефицита} = 0.01$, $T_{такт} = 60$ сек: $$N_{буф} = \frac{2 \cdot \sqrt{2\ln(100)}}{60} = \frac{2 \cdot 3.03}{60} = 0.1 \approx 1 \text{ изделие}$$

Иерархическая структура:

1Уровень 4: ERP (планирование ресурсов)
2    ↓
3Уровень 3: MES (управление производством)
4    ↓
5Уровень 2: SCADA (диспетчерское управление)
6    ↓
7Уровень 1: ПЛК (программируемые контроллеры)
8    ↓
9Уровень 0: Датчики и исполнительные механизмы

Типы датчиков в ПРК:

1. Позиционные датчики

   • Энкодеры: разрешение 16384 имп/об
   • Точность: ±0.001°

2. Силомоментные датчики

   • Диапазон: ±500 Н
   • Точность: ±0.1% от полной шкалы

3. Датчики технического зрения

   • Разрешение: 5 Мп (2592×1944)
   • Скорость: 30 кадр/с

Классический ПИД-алгоритм: $$u(t) = K_p \cdot e(t) + K_i \int_0^t e(\tau)d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}$$

Дискретная форма для контроллера: $$u_k = K_p \cdot e_k + K_i \sum_{i=0}^k e_i \cdot \Delta t + K_d \frac{e_k - e_{k-1}}{\Delta t}$$

где:

• $e_k$ - ошибка регулирования в момент k
• $K_p, K_i, K_d$ - коэффициенты регулятора

Метод Циглера-Николса:

1. Найти критический коэффициент $K_{кр}$
2. Измерить период колебаний $T_{кр}$
3. Рассчитать коэффициенты:

$$K_p = 0.6 \cdot K_{кр}$$ $$K_i = \frac{2 \cdot K_p}{T_{кр}}$$ $$K_d = \frac{K_p \cdot T_{кр}}{8}$$

Время переходного процесса: $$t_{пп} \approx \frac{4.6}{\sigma}$$

где $\sigma$ - вещественная часть доминирующего полюса

Цель: Спроектировать робототехнический комплекс для сборки электронного блока

Требования:

• Производительность: 500 изделий/смену (8 часов)
• Качество: брак не более 0.1%
• Коэффициент использования оборудования: не менее 85%

Операции:

1. Установка печатной платы (12 сек)
2. Монтаж 15 компонентов (45 сек)
3. Пайка (30 сек)
4. Контроль качества (18 сек)
5. Установка в корпус (15 сек)

Такт производства: $$T_{такт} = \frac{8 \times 60}{500} = 0.96 \text{ мин} = 57.6 \text{ сек}$$

Количество рабочих мест: $$n_i = \left\lceil \frac{t_i}{T_{такт}} \right\rceil$$

• $n_1 = \lceil 12/57.6 \rceil = 1$ робот
• $n_2 = \lceil 45/57.6 \rceil = 1$ робот
• $n_3 = \lceil 30/57.6 \rceil = 1$ установка
• $n_4 = \lceil 18/57.6 \rceil = 1$ система
• $n_5 = \lceil 15/57.6 \rceil = 1$ робот

Всего: 5 рабочих мест

Коэффициенты загрузки: $$K_{загр,i} = \frac{t_i}{n_i \times T_{такт}} \times 100%$$

• $K_{загр,1} = \frac{12}{1 \times 57.6} = 20.8%$
• $K_{загр,2} = \frac{45}{1 \times 57.6} = 78.1%$
• $K_{загр,3} = \frac{30}{1 \times 57.6} = 52.1%$
• $K_{загр,4} = \frac{18}{1 \times 57.6} = 31.3%$
• $K_{загр,5} = \frac{15}{1 \times 57.6} = 26.0%$

Средняя загрузка: $(20.8 + 78.1 + 52.1 + 31.3 + 26.0)/5 = 41.7%$ ❌

Проблема: Низкая загрузка оборудования

Решение: Объединение операций на одном роботе

Новая конфигурация:

• Робот 1: Операции 1+5 (27 сек)
• Робот 2: Операция 2 (45 сек)
• Установка: Операция 3 (30 сек)
• Робот 3: Операции 4+упаковка (25 сек)

Новая загрузка:

• $K_{загр,1} = 27/57.6 = 46.9%$
• $K_{загр,2} = 45/57.6 = 78.1%$
• $K_{загр,3} = 30/57.6 = 52.1%$
• $K_{загр,4} = 25/57.6 = 43.4%$

Средняя загрузка: $55.1%$ ⚠️

Решение: Параллельная обработка

• 2 линии по 250 изделий каждая
• Такт каждой линии: 115.2 сек
• Загрузка оборудования: 85-90% ✅

Экономические показатели:

• Инвестиции: 450,000 €
• Операционные затраты: 85,000 €/год
• Экономия на персонале: 150,000 €/год
• Срок окупаемости: 6.9 лет

Особенности коботов:

• Встроенные датчики силы/момента
• Ограничение мощности: 80 Вт
• Скорость при контакте: <250 мм/с
• Сила контакта: <150 Н

Математическая модель безопасности: $$P_{контакт} = F \times v \leq P_{max}$$

где $P_{max} = 80$ Вт - предел безопасной мощности

Пример: При силе контакта 120 Н максимальная скорость: $$v_{max} = \frac{80}{120} = 0.67 \text{ м/с}$$

Обработка изображений:

1. Захват изображения: 30 кадр/с
2. Предобработка: фильтрация шума
3. Сегментация: выделение объектов
4. Извлечение признаков: контуры, цвет, текстура
5. Классификация: нейронные сети

Точность распознавания: $$Accuracy = \frac{TP + TN}{TP + TN + FP + FN} \times 100%$$

где TP, TN, FP, FN - истинно положительные/отрицательные, ложно положительные/отрицательные результаты

Нейронная сеть для управления роботом:

Структура:

• Входной слой: 12 нейронов (координаты, скорости)
• Скрытые слои: 2×64 нейрона
• Выходной слой: 6 нейронов (управляющие сигналы)

Функция активации (ReLU): $$f(x) = \max(0, x)$$

Обратное распространение ошибки: $$\frac{\partial E}{\partial w_{ij}} = \frac{\partial E}{\partial o_j} \cdot \frac{\partial o_j}{\partial net_j} \cdot \frac{\partial net_j}{\partial w_{ij}}$$

Математическая модель реального производства:

Дискретно-событийная модель:

• События: начало/конец операций
• Состояния: очереди, загрузка ресурсов
• Переходы: правила планирования

Имитационное моделирование: $$T_{цикла} = \sum_{i=1}^n (t_{операции,i} + t_{ожидания,i})$$

Оптимизация по критерию: $$\min \left( \frac{C_{производства}}{Q_{выпуска}} \right)$$

Капитальные затраты (CAPEX):

• Роботы: 60% от общих затрат
• Периферийное оборудование: 25%
• Программное обеспечение: 10%
• Внедрение и обучение: 5%

Операционные затраты (OPEX) в год:

• Обслуживание: 3-5% от стоимости оборудования
• Электроэнергия: 0.5-1% от стоимости
• Программные лицензии: 1-2% от стоимости

Чистая приведенная стоимость (NPV): $$NPV = \sum_{t=1}^n \frac{CF_t}{(1+r)^t} - C_0$$

где:

• $CF_t$ - денежный поток в году t
• $r$ - ставка дисконтирования
• $C_0$ - первоначальные инвестиции

Срок окупаемости (Payback Period): $$PP = \frac{C_0}{CF_{средний}}$$

Автомобильный завод:

• Инвестиции: 2.5 млн €
• Экономия на персонале: 800,000 €/год
• Увеличение производительности: 25%
• Снижение брака: с 2% до 0.1%

Расчет эффектов:

• Экономия на зарплате: 800,000 €/год
• Доходы от роста производительности: 500,000 €/год
• Экономия от снижения брака: 150,000 €/год
• Общий эффект: 1,450,000 €/год

Срок окупаемости: $2,500,000 / 1,450,000 = 1.7$ года

Интегральный показатель эффективности: $$K_{эфф} = \frac{Q_{робот} \times (1-Б_{робот})}{Q_{ручн} \times (1-Б_{ручн})} \times \frac{C_{ручн}}{C_{робот}} = \frac{1.75 \times 0.998}{1.0 \times 0.98} \times \frac{25}{5} = 8.9$$

Условие: 3-звенный робот с длинами звеньев $l_1 = 0.5$ м, $l_2 = 0.4$ м, $l_3 = 0.3$ м. Углы в сочленениях: $\theta_1 = 30°$, $\theta_2 = 45°$, $\theta_3 = -60°$.

Найти: Координаты рабочего органа.

Решение: $$x = 0.5\cos(30°) + 0.4\cos(30°+45°) + 0.3\cos(30°+45°-60°)$$ $$y = 0.5\sin(30°) + 0.4\sin(30°+45°) + 0.3\sin(30°+45°-60°)$$

$$x = 0.5 \times 0.866 + 0.4 \times (-0.259) + 0.3 \times 0.5 = 0.433 + (-0.104) + 0.15 = 0.479 \text{ м}$$ $$y = 0.5 \times 0.5 + 0.4 \times 0.966 + 0.3 \times 0.866 = 0.25 + 0.386 + 0.26 = 0.896 \text{ м}$$

Условие: Робот поднимает груз массой 10 кг на высоту 0.8 м за 2 секунды. КПД привода 85%.

Найти: Потребляемую мощность двигателя.

Решение: $$A_{полезная} = mgh = 10 \times 9.81 \times 0.8 = 78.48 \text{ Дж}$$ $$P_{полезная} = \frac{A_{полезная}}{t} = \frac{78.48}{2} = 39.24 \text{ Вт}$$ $$P_{потребляемая} = \frac{P_{полезная}}{\eta} = \frac{39.24}{0.85} = 46.2 \text{ Вт}$$

Условие: Линия из 4 операций с временами: 25, 35, 20, 30 секунд. Требуемая производительность: 100 изделий/час.

Найти: Оптимальное количество рабочих мест на каждой операции.

Решение: $$T_{такт} = \frac{3600}{100} = 36 \text{ сек}$$

$$n_1 = \left\lceil \frac{25}{36} \right\rceil = 1$$ $$n_2 = \left\lceil \frac{35}{36} \right\rceil = 1$$ $$n_3 = \left\lceil \frac{20}{36} \right\rceil = 1$$ $$n_4 = \left\lceil \frac{30}{36} \right\rceil = 1$$

Проверка: Узкое место - операция 2 (35 сек) $$Q = \frac{3600}{35} = 102.9 \text{ изделий/час} \geq 100$$ ✅

Условие: Система позиционирования с параметрами:

• $K_{кр} = 2.0$
• $T_{кр} = 0.5$ с

Найти: Коэффициенты ПИД-регулятора по методу Циглера-Николса.

Решение: $$K_p = 0.6 \times K_{кр} = 0.6 \times 2.0 = 1.2$$ $$K_i = \frac{2 \times K_p}{T_{кр}} = \frac{2 \times 1.2}{0.5} = 4.8$$ $$K_d = \frac{K_p \times T_{кр}}{8} = \frac{1.2 \times 0.5}{8} = 0.075$$

Развитие аппаратного обеспечения:

• Увеличение точности до ±0.005 мм
• Снижение энергопотребления на 40%
• Повышение грузоподъемности в 2 раза
• Уменьшение массы роботов на 30%

Программное обеспечение:

• No-code программирование роботов
• Автоматическая генерация траекторий
• Предиктивная диагностика оборудования
• Интеграция с облачными платформами

Ключевые технологии:

1. Интернет вещей (IoT)

   • 50 млрд подключенных устройств к 2030 году
   • Передача данных в реальном времени
   • Самодиагностика оборудования

2. Большие данные (Big Data)

   • Анализ производственных показателей
   • Машинное обучение для оптимизации
   • Предсказательная аналитика

3. Дополненная реальность (AR)

   • Визуализация производственных процессов
   • Обучение операторов
   • Удаленное обслуживание

Самоорганизующиеся фабрики:

• Автоматическая перестройка производственных линий
• Адаптация к изменению спроса
• Самообучающиеся алгоритмы управления

Математическая модель адаптации: $$P_{новая} = P_{текущая} + \alpha \times \nabla Q(P_{текущая})$$

где:

• $P$ - параметры производства
• $\alpha$ - коэффициент обучения
• $Q$ - функция качества производства

Новые специальности:

1. Инженер по интеграции роботов - 65,000-85,000 €/год
2. Специалист по машинному обучению в производстве - 70,000-95,000 €/год
3. Архитектор цифровых двойников - 80,000-110,000 €/год
4. Эксперт по кибербезопасности ПРК - 75,000-100,000 €/год

Требуемые навыки:

• Программирование (Python, C++, ROS)
• Математическое моделирование
• Машинное обучение и ИИ
• Системная интеграция

Математические модели:

• Кинематика роботов описывается тригонометрическими функциями
• Производительность рассчитывается через обратные величины времени операций
• Оптимизация использует методы линейного программирования

Физические принципы:

• Момент силы определяет грузоподъемность манипулятора
• Мощность привода связана с скоростью выполнения операций
• Обратная связь обеспечивает точность позиционирования

Экономическая эффективность:

• Роботизация окупается за 2-5 лет
• Основные эффекты: рост производительности и снижение брака
• Требует высококвалифицированного персонала

Задача: Рассчитать производительность линии сборки наушников:

• Операция 1: Установка динамиков (18 сек)
• Операция 2: Монтаж проводов (12 сек)
• Операция 3: Сборка корпуса (25 сек)
• Операция 4: Упаковка (8 сек)

Найти производительность в изделиях за 8-часовую смену.

Дополнительно к базовому: Оптимизировать линию для производства 600 изделий за смену. Рассчитать необходимое количество рабочих мест и их загрузку.

Дополнительно к стандартному: Провести экономический анализ:

• Стоимость робота: 35,000 €
• Зарплата рабочего: 2,500 €/месяц
• Операционные расходы: 200 €/месяц на робота

Рассчитать срок окупаемости робототехнического комплекса.

Найти информацию о реальном промышленном робототехническом комплексе в России или мире. Подготовить презентацию (5-7 слайдов) с описанием:

• Область применения
• Технические характеристики
• Экономические показатели

Книги:

• “Промышленная робототехника” - Б.Г. Ананьев
• “Математические основы теории автоматического управления” - А.А. Первозванский

Онлайн-курсы:

• Coursera: “Robotics: Computational Motion Planning”
• edX: “Introduction to Robotics”

Видеоматериалы:

• YouTube: “Kuka Robot Programming”
• “ABB Robotics Applications”

Программное обеспечение:

• ROS (Robot Operating System)
• Gazebo (симулятор роботов)
• MATLAB Robotics Toolbox