🚗 Физика движения транспортных роботов

Математическое моделирование и оптимизация траекторий

🎯 Для всех: Понимаем, как роботы двигаются эффективно
⭐ Для любознательных: Изучаем математику оптимального движения

👨‍🏫 Учитель: Ахметов Рустам
🏫 Школа: ГБОУ № 1362
📅 Дата: 2025-06-14
⏰ Время: 75 минут

🎬 Мотивация: Почему один робот быстрее?

🤖 Сравним двух роботов

🔴 Робот А - неэффективный:

Резко стартует и тормозит
Движется рывками
Много энергии тратит впустую
Нестабильная траектория

🟢 Робот Б - оптимальный:

Плавно разгоняется и тормозит
Стабильная скорость
Экономично расходует энергию
Точная траектория

🤔 Ключевые вопросы

Что делает движение робота эффективным?

Почему один робот быстрее доезжает до цели?
Как можно спланировать оптимальное движение?
От чего зависит расход энергии?

🎯 Сегодня мы изучим физику движения и научимся оптимизировать траектории!

🧠 Вспоминаем физику движения

📐 Основные формулы кинематики

Что мы уже знаем из физики:

Скорость: $v = \frac{s}{t}$

Ускорение: $a = \frac{v - v_0}{t}$

Путь при равноускоренном движении: $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

🔧 Физические факторы

Что влияет на движение робота?

Масса - определяет инерцию
Трение - сопротивление движению
Мощность моторов - максимальное ускорение
Распределение массы - устойчивость

⚙️ Типы движения транспортных роботов

📊 Равномерное движение

Характеристики:

Постоянная скорость v = const
Ускорение a = 0
Энергия тратится только на преодоление трения

График скорости:

1v (м/с)
2   ↑
3 5 |████████████████
4   |
5 0 |________________→ t (с)
6   0    2    4    6

Формулы:

\[s = vt\]

P_{потребляемая} = F_{трения} \times v = \mu mg v

Применение: Движение по прямой на большие расстояния

🚀 Равноускоренное движение

Разгон робота:

Ускорение a = const > 0
Скорость увеличивается линейно
Большой расход энергии

График скорости:

1v (м/с)
2   ↑
3 5 |      ╱
4   |    ╱
5   |  ╱
6 0 |╱_______________→ t (с)
7   0    2    4    6

Формулы:

\[v = v_0 + at\]

s = v_0 t + \frac{at^2}{2}

🛑 Равнозамедленное движение (торможение)

Торможение робота:

Ускорение a = const < 0
Скорость уменьшается
Нужно учитывать тормозной путь

График скорости:

1v (м/с)
2   ↑
3 5 |████╲
4   |      ╲
5   |        ╲
6 0 |__________╲____→ t (с)
7   0    2    4    6

Тормозной путь:

s_{торм} = \frac{v^2}{2a}

где a - ускорение торможения (отрицательное)

⭐ Для любознательных: Оптимальный профиль движения

Трапецеидальный профиль скорости:

1v (м/с)
2   ↑
3 5 |   ╱████████╲
4   | ╱            ╲
5   |╱              ╲
6 0 |_________________→ t (с)
7   0  1  2  3  4  5  6
8   ↑  ↑        ↑    ↑
9разгон равном. торм. стоп

Фазы движения:

Разгон (0-1с): $v = at$
Равномерное движение (1-4с): $v = v_{max}$
Торможение (4-6с): $v = v_{max} - a(t-4)$

Расчет времени разгона:

t_{разгон} = \frac{v_{max}}{a_{max}}

Путь разгона:

s_{разгон} = \frac{v_{max}^2}{2a_{max}}

Общий путь:

s_{общий} = s_{разгон} + v_{max} \cdot t_{равном} + s_{торм}

Оптимизация по времени: Для минимального времени при ограниченном ускорении:

v_{опт} = \sqrt{a_{max} \cdot s_{доступный}}

если $s_{разгон} + s_{торм} < s_{общий}$

🔧 Физические факторы, влияющие на движение

⚖️ Инерция и масса робота

Инерция - сопротивление изменению скорости:

Сила, необходимая для ускорения:

\[F = ma\]

Влияние массы:

Больше масса → больше нужно силы для разгона
Больше масса → больше тормозной путь
Больше масса → больше расход энергии

Пример расчета: Робот массой m = 2 кг нужно разогнать до v = 1 м/с за t = 2 с:

a = \frac{v}{t} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ м/с}^2

F = ma = 2 \times 0.5 = 1 \text{ Н}

🌪️ Сопротивление движению

Сила трения качения:

F_{тр} = \mu N = \mu mg

где μ - коэффициент трения качения

Коэффициенты трения для разных поверхностей:

Асфальт: μ = 0.01-0.02
Бетон: μ = 0.02-0.03
Ковер: μ = 0.05-0.1
Песок: μ = 0.1-0.3

Мощность для преодоления трения:

P = F_{тр} \times v = \mu mg v

Пример: Робот 2 кг на асфальте (μ=0.02) при скорости 1 м/с:

P = 0.02 \times 2 \times 9.8 \times 1 = 0.39 \text{ Вт}

🔋 Энергоэффективность движения

Энергия, затрачиваемая на движение:

На разгон:

E_{разгон} = \frac{1}{2}mv^2

На преодоление трения:

E_{трение} = F_{тр} \times s = \mu mg s

На торможение: Кинетическая энергия переходит в тепло:

E_{торм} = \frac{1}{2}mv^2

Общая энергия для поездки:

E_{общая} = E_{разгон} + E_{трение} + E_{торм} = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg s + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2 + \mu mg s

⭐ Для любознательных: Оптимизация по энергии

Минимизация энергопотребления:

Для движения на расстояние S за время T нужно найти оптимальный профиль скорости.

Задача оптимизации: Минимизировать: $E = \int_0^T P(t) dt$

При ограничениях:

$\int_0^T v(t) dt = S$ (путь)
$|a(t)| \leq a_{max}$ (ограничение ускорения)

Решение для простого случая: Оптимальная скорость для равномерного движения:

v_{опт} = \frac{S}{T}

Сравнение энергопотребления:

Равномерное движение: $E_1 = \mu mg S$
С разгоном/торможением: $E_2 = mv_{max}^2 + \mu mg S$

Выигрыш от равномерного движения:

\Delta E = E_2 - E_1 = mv_{max}^2

📊 Практическая работа: Анализ графиков движения

🎯 Задание 1: Построение графиков

Построим графики для робота с параметрами:

Масса: m = 1.5 кг
Максимальное ускорение: a_max = 0.5 м/с²
Максимальная скорость: v_max = 2 м/с
Коэффициент трения: μ = 0.03

Сценарий: Робот должен проехать 10 метров

📈 График 1: Равномерное движение

Расчеты: При равномерном движении v = const = 1 м/с

Время движения:

t = \frac{s}{v} = \frac{10}{1} = 10 \text{ с}

График v(t):

1v (м/с)
2   ↑
3 1 |████████████████
4   |
5 0 |________________→ t (с)
6   0    5    10

График s(t):

1s (м)
2   ↑
310 |           ╱
4   |         ╱
5 5 |       ╱
6   |     ╱
7 0 |___╱___________→ t (с)
8   0    5    10

🚀 График 2: Движение с разгоном и торможением

Трапецеидальный профиль:

Разгон до 2 м/с за 4 с
Равномерное движение 2 м/с
Торможение до 0 за 4 с

Расчет фаз:

Путь разгона:

s_1 = \frac{v_{max} \cdot t_{разгон}}{2} = \frac{2 \times 4}{2} = 4 \text{ м}

Путь торможения:

s_3 = \frac{v_{max} \cdot t_{торм}}{2} = \frac{2 \times 4}{2} = 4 \text{ м}

Путь равномерного движения:

s_2 = s_{общий} - s_1 - s_3 = 10 - 4 - 4 = 2 \text{ м}

Время равномерного движения:

t_2 = \frac{s_2}{v_{max}} = \frac{2}{2} = 1 \text{ с}

Общее время: t = 4 + 1 + 4 = 9 с

📋 Таблица сравнения

Параметр	Равномерное	С разгоном
Максимальная скорость	1 м/с	2 м/с
Время движения	10 с	9 с
Энергия разгона	0 Дж	3 Дж
Энергия трения	4.4 Дж	4.4 Дж
Энергия торможения	0 Дж	3 Дж
Общая энергия	4.4 Дж	10.4 Дж

Вывод: Равномерное движение более энергоэффективно, но медленнее

⭐ Для любознательных: Оптимальный компромисс

Задача: Найти оптимальную скорость, минимизирующую функцию:

F = w_1 \cdot E + w_2 \cdot T

где $w_1$ и $w_2$ - весовые коэффициенты важности энергии и времени

Для равномерного движения:

E(v) = mv^2 + \mu mg \frac{S}{v}

T(v) = \frac{S}{v}

Функция оптимизации:

F(v) = w_1(mv^2 + \mu mg \frac{S}{v}) + w_2 \frac{S}{v}

Оптимальная скорость (производная = 0):

\frac{dF}{dv} = 2w_1 mv - w_1\mu mg\frac{S}{v^2} - w_2\frac{S}{v^2} = 0

Решение:

v_{опт} = \sqrt[3]{\frac{(w_1\mu mg + w_2)S}{2w_1 m}}

🏃 Физкультминутка: Типы движения

🎮 Упражнение “Живые графики”

Правила игры:

Класс делится на 3 группы: “равномерное движение”, “ускорение”, “торможение”
По команде каждая группа демонстрирует свой тип движения
Остальные угадывают тип движения по характеру

Команды:

“Равномерное” - идут с постоянной скоростью
“Ускорение” - постепенно ускоряются
“Торможение” - постепенно замедляются
“Оптимальное” - разгон, равномерно, торможение

⭐ Усложнение: Добавить “инерцию” - при команде “стоп” нельзя останавливаться мгновенно!

🛣️ Планирование оптимальных маршрутов

🗺️ Типы маршрутов

Простой маршрут:

Старт → Цель по прямой
Постоянная скорость
Минимум расчетов

Сложный маршрут:

Несколько точек
Повороты и препятствия
Оптимизация по времени/энергии

🔄 Планирование поворотов

Поворот на 90°:

При повороте робот должен снизить скорость для сохранения устойчивости.

Центростремительная сила:

F_c = \frac{mv^2}{R}

Максимальная скорость поворота:

v_{max} = \sqrt{F_{max} \cdot R / m}

где $F_{max}$ - максимальная сила трения/тяги

Пример расчета:

Радиус поворота R = 0.5 м
Масса робота m = 2 кг
Максимальная сила F_max = 5 Н

v_{max} = \sqrt{5 \times 0.5 / 2} = \sqrt{1.25} = 1.12 \text{ м/с}

🎯 Оптимизация сложного маршрута

Задача: Робот должен проехать маршрут: Старт → Точка А → Точка Б → Финиш

Алгоритм планирования:

Разбить маршрут на сегменты
Для каждого сегмента определить тип движения
Учесть ограничения скорости на поворотах
Оптимизировать переходы между сегментами

Профиль скорости для сложного маршрута:

1v (м/с)
2   ↑
3 2 |  ╱██╲    ╱██╲    ╱██╲
4   |╱      ╲ ╱      ╲ ╱     ╲
5 1 |        ╳        ╳       ╲
6   |                          ╲
7 0 |____________________________╲_→ t (с)
8   старт   А     Б         финиш

Ключевые принципы:

Снижение скорости перед поворотами
Максимальное ускорение на прямых участках
Плавные переходы между режимами

⭐ Для любознательных: Алгоритм A* для роботов

Планирование пути с препятствиями:

Модифицированный алгоритм A* учитывает динамические ограничения:

Функция стоимости:

\[f(n) = g(n) + h(n) + d(n)\]

где:

$g(n)$ - стоимость пути от старта
$h(n)$ - эвристическая оценка до цели
$d(n)$ - штраф за динамические ограничения

Динамические ограничения:

d(n) = w_1 \cdot |v_n - v_{опт}| + w_2 \cdot |a_n|

Алгоритм планирования траектории:

 1def plan_trajectory(start, goal, obstacles):
 2    # 1. Найти геометрический путь (A*)
 3    path = astar_search(start, goal, obstacles)
 4    
 5    # 2. Добавить динамические ограничения
 6    for i, point in enumerate(path):
 7        # Ограничение скорости на поворотах
 8        if is_turn(point):
 9            max_speed[i] = calculate_turn_speed(point)
10        else:
11            max_speed[i] = robot.max_speed
12    
13    # 3. Сгладить профиль скорости
14    smooth_velocity_profile(path, max_speed)
15    
16    return path, velocity_profile

Оптимизация по времени и энергии:

\min \int_0^T \left( \alpha \cdot P(t) + \beta \cdot \frac{1}{v(t)} \right) dt

где α и β - коэффициенты важности энергии и времени

🧮 Практические расчеты

📋 Задача 1: Расчет времени поездки

Условия:

Расстояние: 50 м
Максимальная скорость: 3 м/с
Ускорение: 1 м/с²
Один поворот на 90° (R = 1 м)

Решение:

Этап 1: Разгон $t_1 = \frac{v_{max}}{a} = \frac{3}{1} = 3 \text{ с}$

s_1 = \frac{v_{max}^2}{2a} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ м}

Этап 2: Перед поворотом - торможение $v_{поворот} = \sqrt{\frac{F_{max} \cdot R}{m}} = 1.5 \text{ м/с (задано)}$

Этап 3: Поворот (90°) $s_{поворот} = \frac{\pi R}{2} = \frac{\pi \times 1}{2} = 1.57 \text{ м}$

t_{поворот} = \frac{s_{поворот}}{v_{поворот}} = \frac{1.57}{1.5} = 1.05 \text{ с}

Общее время: t = 3 + 2.5 + 1.05 + 5.2 = 11.75 с

🎤 Демонстрация результатов

📊 Анализ эффективности

Сравним 3 стратегии движения:

Стратегия	Время	Энергия	Комфорт
Агрессивная	8 с	15 Дж	Низкий
Равномерная	12 с	8 Дж	Высокий
Оптимальная	10 с	10 Дж	Средний

📈 Построение итоговых графиков

График энергоэффективности:

Ось X: Скорость движения
Ось Y: Энергопотребление
Минимум показывает оптимальную скорость

График “время-энергия”:

Парето-фронт оптимальных решений
Компромисс между быстротой и экономичностью

🤔 Рефлексия: что мы изучили

🎯 Основные открытия

Физические принципы:

✅ Типы движения роботов и их характеристики
✅ Влияние массы, трения и инерции
✅ Энергетические аспекты движения
✅ Оптимизация траекторий

Математические навыки:

✅ Расчет параметров движения
✅ Построение и анализ графиков
✅ Оптимизация по нескольким критериям
✅ Планирование сложных маршрутов

🔍 Практическое применение

Где используются эти знания:

🚗 Автономные автомобили (планирование маршрутов)
🏭 Промышленные роботы (оптимизация циклов)
🚀 Космические аппараты (экономия топлива)
📦 Роботы-доставщики (энергоэффективность)

🌟 Главное понимание

“Эффективное движение робота - это не просто быстро доехать от А до Б. Это найти оптимальный баланс между скоростью, энергией и безопасностью!”

🏠 Домашнее задание

📋 Базовый уровень (для всех)

1. Расчетная задача Робот массой 2 кг должен проехать 20 м за минимальное время при ограничении ускорения 0.8 м/с². Рассчитайте:

Оптимальную максимальную скорость
Время разгона и торможения
Общее время поездки

2. Построение графика Постройте график зависимости тормозного пути от скорости для вашего робота при коэффициенте трения μ = 0.05.

🎯 Повышенный уровень (по желанию)

3. Оптимизация маршрута Спроектируйте оптимальный маршрут для робота-доставщика, который должен объехать 5 точек и вернуться на базу. Учтите:

Ограничения скорости
Энергопотребление
Время доставки

4. Исследование факторов Исследуйте, как влияет масса груза (0%, 50%, 100% от массы робота) на:

Время разгона
Тормозной путь
Энергопотребление

⭐ Для школьных аспирантов

5. Математическое моделирование Создайте математическую модель энергооптимального движения:

Функция энергопотребления P(v,a)
Ограничения по скорости и ускорению
Алгоритм поиска оптимума

6. Алгоритм планирования Разработайте алгоритм планирования траектории для робота в среде с препятствиями, учитывающий динамические ограничения.

🎉 Заключение

🏆 Что мы достигли

Теоретические знания:

🧠 Понимание физики движения роботов
📊 Умение анализировать графики движения
⚙️ Знание принципов оптимизации
🎯 Навыки планирования маршрутов

Практические навыки:

📈 Построение и анализ графиков
🧮 Расчет параметров движения
🎯 Оптимизация по нескольким критериям
🗺️ Планирование сложных траекторий

🚀 Связь с реальным миром

Применение в современных технологиях:

🚗 Системы круиз-контроля в автомобилях
🤖 Промышленные роботы-манипуляторы
📦 Автономные системы доставки
🚀 Управление космическими аппаратами

🌟 Следующие шаги

На следующих уроках:

Системы навигации роботов
Датчики для определения положения
Алгоритмы избежания препятствий
Групповое поведение роботов

🎯 Сегодня вы овладели основами эффективного движения роботов!

📚 Дополнительные ресурсы

🔗 Полезные ссылки

Теория и практика:

📖 Рекомендуемая литература

Для школьников:

“Физика движения роботов” - М.Ф. Кинематиков
“Планирование траекторий” - А.О. Оптимизаторов
“Энергоэффективная робототехника” - Э.Н. Энергетиков

⭐ Для углубленного изучения:

“Robot Motion Planning” - J.C. Latombe
“Planning Algorithms” - S.M. LaValle
“Principles of Robot Motion” - H. Choset et al.

🛠️ Программные инструменты

Для моделирования:

MATLAB/Simulink - профессиональное моделирование
Python + matplotlib - построение графиков
ROS (Robot Operating System) - планирование пути
Webots - симуляция роботов

Успехов в изучении физики движения роботов! 🚗🤖✨